κ-局所表示可能圏 󰒚 をとる。 定理 4.10 により、 󰒚 の κ-表示可能対象から成る極限的生成子 󰒘 が存在する。 しかし、 定理 3.3 により、 󰒚 の κ-表示可能対象は λ-表示可能だから、 󰒘 は 󰒚 の λ-表示可能対象から成る極限的生成子でもある。 したがって、 󰒚 は λ-局所表示可能である。

󱁍κ(X) の元の族 {Yl}l∈L でその個数が κ 未満であるものをとる。 󰔄Y:=⋃l∈LYl とおけば、 これは濃度が κ 未満の集合を κ 未満個合併したものであるから、 κ が正則基数であることより 󰔄Y 自身の濃度も κ 未満である。 したがって 󰔄Y∈󱁍κ(X) であり、 これが {Yl}l∈L の上界を与える。

余極限の普遍性などを愚直に確かめれば良い。

必要性:DPosκ の λ-表示可能対象 C をとる。 C に新たな最大元を追加した集合 C∗:=C⊔{⊤} を考えると、 C∗=󰆊Y∈󱁍λ(C)(Y⊔{⊤}) と書ける。 ここで、 任意の 󱁍λ(C) の元 Y に対し、 Y⊔{⊤} は最大元をもつので κ-有向であるから DPosκ の対象である。 さらに、 補題 6.3 により 󱁍λ(C) は λ-有向だから、 上記の和集合は DPosκ 内の λ-有向余極限と見なせる。 これより、 包含写像 f:C→C∗ を考えると、 今述べたように C∗ は λ-有向余極限で C は λ-表示可能なので、 ある 󱁍λ(C) の元 Y が存在して、 CC∗Y⊔{⊤}f という分解ができる。 DPosκ の射は全て包含写像だから、 これより |C|≤|Y⊔{⊤}| を得るが、 |Y⊔{⊤}|<λ であったから |C|<λ が成り立つ。

十分性:DPosκ の対象 C であって |C|<λ であるものをとる。 λ-有向図式 F:󰒠→DPosκ の余極限 (di:Fi→D)i∈󰒠 および射 f:C→D をとる。 DPosκ の射が包含写像であることと、 補題 6.5 による余極限の具体的な表示を用いれば、 これは、 C⊆󰆊i∈󰒠Fi=D が成り立つということである。 したがって、 任意の C の元 c に対し、 ある 󰒠 の対象 ic が存在して c∈Fic が成り立つ。 |C|<λ であって 󰒠 は λ-有向だから、 {ic}c∈C の上界 󰔄i がとれる。 すると、 任意の C の元 c に対して一斉に c∈F󰔄i となるから、 C⊆F󰔄i が成り立つ。 これは、 CDF󰔄ifdi が可換であるということである。 さらに、 このような分解は明らかに本質的に一意である。 したがって、 C が λ-表示可能であることが示された。

まず、 補題 6.5 によって DPosκ は κ-有向余極限をもつ。 また、 補題 6.3 により、 DPosκ の κ-表示可能対象は濃度が κ 未満の対象であるから、 そのようなものは同型の違いを除けば集合サイズしかない。 したがって、 定理 4.5 により、 あとは DPosκ の任意の対象が κ-表示可能対象の κ-有向余極限として書けることを示せば良い。

任意に DPosκ の対象 C をとる。 󱁍κ(C) の元 Y を考えると、 |Y|<κ であって C は κ-有向だから、 Y の上界 ⊤Y が C にとれる。 これを用いると、 C=󰆊Y∈󱁍κ(C)(Y∪{⊤Y}) と書ける。 ここで、 任意の 󱁍λ(C) の元 Y に対し、 Y∪{⊤Y} は最大元をもつので κ-有向であるから DPosκ の対象である。 さらに、 補題 6.3 により 󱁍κ(C) は κ-有向だから、 上記の和集合は DPosκ 内の κ-有向余極限である。 これにより、 C を κ-有向余極限として表せた。

定理 1.6 を用いれば容易である。

条件 1 ⇒ 条件 2:補題 6.7 によって DPosκ は κ-到達可能だから、 明らかである。

条件 2 ⇒ 条件 3:集合 X であって |X|<λ であるものをとる。 補題 6.3 によって 󱁍κ(X) は κ-有向順序集合だから、 これは DPosκ の対象である。 仮定から DPosκ は λ-到達可能だから、 ある λ-表示可能対象の λ-有向図式 F:󰒠→DPosκ が存在して、 󱁍κ(X)=colimF と書ける。 この余極限余錐を (ci:Fi→󱁍κ(X))i∈󰒠 とおく。 ここで、 各 󰒠 の対象 i に対し、 Fi は DPosκ の対象であるから κ-有向順序集合である。 また、 Fi は DPosκ で λ-表示可能だから、 補題 6.6 を使えば |Fi|<λ であることも分かる。 さらに、 DPosκ の射は包含写像だったので、 Fi⊆󱁍κ(X) である。

任意の X の元 x に対し、 単元集合 {x} は 󱁍κ(X) の元だから、 補題 6.5 による余極限の具体的な表示を見れば、 ある 󰒠 の対象 ix が存在して {x}∈Fix であることが分かる。 |X|<λ であって 󰒠 は λ-有向だから、 {ix}x∈X の上界 󰔄i がとれる。 すると、 任意の X の元 x に対して一斉に {x}∈F󰔄i となる。 すなわち、 F󰔄i は任意の単元集合を属する。

この F󰔄i が存在を示したい集合になっていることを示す。 そのためには、 あとは F󰔄i⊆󱁍κ(X) が終であることが示せば良い。 そこで、 任意に 󱁍κ(X) の元 Y をとる。 Y の各元の単元集合から成る族 {{y}}y∈Y を考えると、 すでに述べたようにこれらはそれぞれ F󰔄i の元である。 さらに |Y|<κ であって F󰔄i は κ-有向順序集合だから、 {{y}}y∈Y の上界 Z が F󰔄i の元としてとれる。 これはつまり Y⊆Z が成り立つということだから、 示したいことが示された。

条件 3 ⇒ 条件 4:任意に κ-有向順序集合 I およびその部分集合 X⊆I をとり、 |X|<λ であるとする。 これから、 超限帰納法によって I の部分集合の増加列 (Xα)α<κ を構成する。 さらに同時に、 各 α について |Xα|<λ であることも示す。

基底ケースでは、 X0:=X とおく。 明らかに |X0|<λ である。

後続順序数のケースを考える。 Xα が定まっているとする。 これに仮定を使うことで、 終部分集合 S⊆󱁍κ(Xα) であって |S|<λ であるものがとれる。 S の元 Z をとると、 |Z|<κ であって I は κ-有向だから、 Z の上界 ⊤Z がとれる。 そこで、 Xα+1:=󰆊Z∈S(Z∪{⊤Z}) とおく。 |S|<λ であり、 S の元 Z について |Z∪{⊤Z}|<κ<λ でもあるから、 λ が正則基数であることより |Xα+1|<λ であることが分かる。 なお、 Xα⊆Xα+1 であることは以下のようにして分かる。 任意に Xα から元 x をとると、 単元集合 {x} は 󱁍κ(Xα) の元だから、 S が終であることより、 ある S の元 Zx が存在して {x}⊆Zx すなわち x∈Zx が成り立つ。 これより、 x は Xα+1 の元である。

極限順序数のケースを考える。 このときは、 Xα:=󰆊ξ<αXξ とおく。 すると、 前の場合と同様に、 λ が正則基数であることから |Xα|<λ であることが分かる。

以上のように定義された I の部分集合の増加列 (Xα)α<κ を用いて、 X∗:=󰆊α<κXα と定める。 これが存在を示したい集合になっていることを示す。 λ が正則基数であることから |X∗|<λ であることは分かり、 さらに (Xα)α<κ が単調増加であることから X=X0⊆X∗ である。 したがって、 あとは X∗ が κ-有向であることを示せば良い。

任意に部分集合 Y⊆X∗ をとり、 |Y|<κ であるとする。 X∗ の定義から、 各 Y の元 y に対して、 ある αy が存在して y∈Xαy が成り立つ。 ここで 󰔄α:=sup{αy}y∈Y とおけば、 κ が正則基数であることから 󰔄α<κ であり、 任意の Y の元 y に対して y∈X󰔄α が成り立つ。 これはすなわち Y⊆X󰔄α であるということであり、 さらに |Y|<κ でもあったから Y∈󱁍κ(Xα) である。

ここで X󰔄α+1 の定義を思い出そう。 これは、 終部分集合 S⊆󱁍κ(X󰔄α) をとり、 さらに各 S の元 Z の上界 ⊤Z をとって、 X󰔄α+1:=󰆊Z∈S(Z∪{⊤Z}) と定義されていた。 ところで Y∈󱁍κ(Xα) であったから、 S が終であることより、 ある S の元 Z をとって Y⊆Z が成り立つようにできる。 したがって、 ⊤Z が Z の上界であることから、 ⊤Z は Y の上界でもある。 ⊤Z∈X󰔄α+1⊆X∗ であるから、 これで Y の上界が X∗ にとれたことになる。 以上により、 X∗ は κ-有向である。

条件 4 ⇒ 条件 5:󰒢 の元の族 {Xl}l∈L でその個数が λ 未満であるものをとる。 󰔄X:=⋃l∈LXl とおけば、 これは濃度が λ 未満の集合を λ 未満個合併したものであるから、 λ は正則基数であることより X 自身の濃度も λ 未満である。 これより 󰔄X に仮定が使えて、 部分集合 󰔄X∗⊆I が存在し、 |󰔄X∗|<λ および 󰔄X⊆󰔄X∗ であって 󰔄X∗ は κ-有向である。 すなわち、 󰔄X∗ は 󰒢 の元であって、 {Xl}l∈L の上界を与えている。 以上により、 󰒢 は λ-有向である。

条件 5 ⇒ 条件 1:κ-到達可能圏 󰒚 をとる。 まず、 󰒚 は κ-有向余極限をもつが、 λ-有向余極限は κ-有向余極限だから、 󰒚 は λ-有向余極限ももつ。 ここで、 󰒘:={A∈󰒚∣A は Presκ(󰒚) の対象の κ-有向 λ-小余極限として表せる} とおく。 定理 4.7 によって Presκ(󰒚) は小だから、 󰒘 も小である。 さらに、 定理 3.3 によって Presκ(󰒚) の対象は λ-表示可能であり、 󰒘 の元はそのようなものの λ-小余極限なのだから、 定理 3.4 によって 󰒘 の元は全て λ-表示可能である。 したがって、 あとは 󰒚 の任意の元が 󰒘 の元の λ-有向余極限として表せることを示せば良い。

任意に 󰒚 の対象 C をとる。 󰒚 は κ-到達可能だから、 ある Presκ(󰒚) の対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 が存在して、 C=colimF と書ける。 この余極限余錐を (ci:Fi→C)i∈󰒠 とおく。 ここで、 󰒢:={X⊆󰒠∣|X|<λ であって X は κ-有向} とおくと、 仮定によってこれは λ-有向である。 󰒢 の元 X に対し、 GX:=colim(❲X↪󰒠❳󰖡F) とおくと、 X は κ-有向かつ λ-小であり、 F の像は全て Presκ(󰒚) の対象であったから、 GX は 󰒘 の元である。 また、 余極限の普遍性によって射 dX:GX→C がとれる。 ここで、 󰒢 の対象 X,X󰎘 が X⊆X󰎘 を満たすとすると、 再び余極限の普遍性によって射 GX→GX󰎘 がとれるから、 これによって関手 G:󰒢→󰒚 と見なせる。 さらに、 (dX:GX→C)X∈󰒢 は余錐を成し、 余極限にもなっていることが容易に示せる。 以上で、 C が 󰒘 の元の λ-有向余極限として表せることが示せたが、 これがまさに示したかったことである。

各 L の元 l に対し、 󰒚l は κl-局所表示可能であるとする。 このとき、 sup{κl}l∈L と σ のどちらよりも大きい正則基数 λ をとれば良い。 実際、 明らかに σ≤λ である。 さらに、 任意の L の元 l に対し、 κl≤λ であることから、 定理 6.1 によって 󰒚 は λ-局所表示可能である。

各 L の元 l に対し、 󰒚l は κl-到達可能であるとする。 このとき、 sup{κl}l∈L と σ のどちらよりも大きい正則基数 λ󰎘 をとり、 λ:=(2λ󰎘)+ とすれば良い。 実際、 まず σ≤λ󰎘<λ である。 さらに、 任意の L の元 l に対し、 κl≤λ󰎘 であることから、 命題 6.12 によって κl⪪λ であり、 定理 6.9 によって 󰒚 は λ-到達可能である。