まず、 Ш: Subsp(A) ⟶ 󱁍(Hom(A,A)) ❲m:M↣A❳ ⟼ {c󰖡m∣c:A→M は m󰖡c=idM を満たす} とおく。 Ш が単射であることが示されれば、 Subsp(A) は 󱁍(Hom(A,A)) の部分クラスと見なすことができ、 Hom(A,A) が集合であることから 󱁍(Hom(A,A)) も集合なので、 Subsp(A) が集合であることが示される。 そこで、 Ш が単射であることを示す。

任意に分裂部分対象 m:M↣A,m󰎘:M󰎘↣A をとり、 Шm=Шm󰎘 が成り立つとする。 m は分裂するから、 射 c:A→M が存在して、 MMAmidMc は可換である。 定義から c󰖡m は Шm に属するが、 Шm=Шm󰎘 であるから c󰖡m は Шm󰎘 にも属する。 すなわち、 射 c󰎘:A→M󰎘 が存在して、 AMAM󰎘c󰎘cmm󰎘M󰎘M󰎘Am󰎘idM󰎘c󰎘 はともに可換である。 すると、 MM󰎘Amm󰎘m󰖡c󰎘m󰎘󰖡c は可換で、 上辺の 2 本の射は互いに逆になっていることが分かる。 したがって、 部分対象として m=m󰎘 であることが得られたので、 Ш が単射であることが示された。

条件 2 ⇒ 条件 1:󰒚 の κ-表示可能対象の全体を 󰒘 とおけば、 定理の前に述べたことに注意すれば条件 1 が満たされる。

条件 1 ⇒ 条件 2:󰒘 は集合であるから、 補題 4.4 を使えば、 󰒘󰎘:=󰆊A∈󰒘Subsp(A) が集合であることが分かる。 したがって、 任意の κ-表示可能対象が 󰒘󰎘 に属するある元と同型であることを示せば良い。 すなわち、 任意の κ-表示可能対象が 󰒘 に属する元の分裂部分対象になることを示す。

任意に κ-表示可能対象 C をとる。 仮定を用いて、 󰒘 に属する対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 によって C=colimF と表し、 その余極限余錐を (ci:Fi→C)i∈󰒠 で書く。 すると、 補題 3.2 によって、 idC:C→C は、 ある 󰒠 の対象 i について、 CCFiidCmci と分解できる。 これより、 C は Fi の分裂部分対象であり、 F のとり方から Fi は 󰒘 の元なので、 示したかったことが示された。

定理 4.5 から直ちに従う。

条件 1 ⇒ 条件 2:󰒘 自身が極限的生成子であることを示す。 まず、 󰒘 が生成子であることを示す。 射 f,f󰎘:C→D をとり、 任意の 󰒘 の元 A と任意の射 a:A→C に対して a󰖡f=a󰖡f󰎘 であると仮定する。 さて、 仮定により、 󰒘 に属する対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 が存在して C=colimF と表せる。 その余極限余錐を (ci:Fi→C)i∈󰒠 で書く。 すると、 任意の 󰒠 の対象 i について、 F のとり方から Fi は 󰒘 に属するから、 仮定より ci󰖡f=ci󰖡f󰎘 が成り立つ。 したがって、 余極限の普遍性によって f=f󰎘 が得られる。

次に、 󰒘 が極限的であることを示す。 部分対象 m:M↣C をとり、 任意の 󰒘 の元 A と任意の射 a:A→C に対して a は m を経由して分解されると仮定する。 さて、 仮定により、 再び 󰒘 に属する対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 によって C=colimF と表し、 その余極限余錐を (ci:Fi→C)i∈󰒠 で書く。 すると、 任意の 󰒠 の対象 i について、 仮定より ci は m を経由して分解される。 すなわち、 射 di:Fi→M が存在して、 FiCMcimdi は可換である。 すると、 m が単射であることから、 (di:Fi→M)i∈󰒠 は F の余錐になる。 したがって、 余極限の普遍性を用いると、 射 h:C→M が存在して、 任意の 󰒠 の対象 i に対し、 FiCMcihdi が可換になる。 すると、 任意の 󰒠 の対象 i に対し、 ci󰖡h󰖡m=di󰖡m=ci が成り立つから、 h󰖡m=idC である。 以上により、 m は単射かつ分裂全射なので同型射になる。

条件 2 ⇒ 条件 1:󰒚 は余完備であるとする。 󰔃󰒘 を 󰒚 の充満部分圏と見なし、 κ-小余極限をとる操作に関して閉じているような 󰔃󰒘 を含む最小の 󰒚 の部分圏を 󰒘 とおく。 すると、 󰒘 は本質的小で、 補題 3.4 によって 󰒘 の対象は全て κ-表示可能である。 さらに、 定理 2.8 によって κ-フィルター余極限は κ-有向余極限に取り替えられるから、 󰒚 の任意の対象が 󰒘 の対象の κ-フィルター余極限として表せることを示せば良い。

任意に 󰒚 の対象 C をとる。 スライス圏からの忘却関手 F: 󰒘/C ⟶ 󰒚 ❲a:A→C❳ ⟼ A を考える。 󰒚 は余完備だから、 F の余極限 (a∗:Fa→C∗)a∈󰒘/C が存在する。 また、 (a:Fa→C)a∈󰒘/C は F の余錐になるので、 余極限の普遍性によってある射 m:C∗→C が存在して、 任意の 󰒘/C の対象 a:A→C に対して、 AC∗Ca∗am が可換になる。

さて、 定義から 󰒘 は κ-小余極限をもつので、 󰒘/C も κ-小余極限をもつ。 したがって、 󰒘/C は κ-フィルターである。 また、 F の定義から F の像は 󰒘 の対象である。 したがって、 F の余極限である C∗ は 󰒘 の対象の κ-フィルター余極限であるということになる。 これにより、 m:C∗→C が同型射であることが示されれば、 C も 󰒘 の対象の κ-フィルター余極限であることが分かり、 示したかったことが示される。

ところが、 m が同型射であることを示すには、 m が単射であることを示せば十分である。 なぜなら、 m が単射であることが示されれば、 任意の 󰒘 の対象 A と射 a:A→C に対し、 上の図式の可換性によって f は m を経由して分解されるので、 󰒘 が極限的生成子であることから m が同型射であることが従うからである。 よって、 m が単射であることを示す。

󰒚 の射 f,f󰎘:B→C∗ をとり、 f󰖡m=f󰎘󰖡m であるとする。 󰔃󰒘 は生成子だから、 B が 󰔃󰒘 の元であるとしても一般性を失わない。 すると、 B が κ-表示可能で C∗ は κ-フィルター余極限だから、 ある 󰒘/C の対象 a:A→C,a󰎘:A󰎘→C が存在して、 BC∗Fafa∗BC∗Fa󰎘f󰎘a󰎘∗ と分解できる。 󰒘/C は κ-フィルターだから、 󰒘/C において a と a󰎘 の両方からの射がある 󰔄a が存在する。 すると、 f と f󰎘 はともにこの 󰔄a を用いた分解 BC∗F󰔄afg󰔄a∗BC∗F󰔄af󰎘g󰎘󰔄a∗ ができる。 ここで、 󰒚 において余等化子 B󰔄ASgg󰎘p をとる。 ここで、 g󰖡󰔄a=g󰖡󰔄a∗󰖡m=f󰖡m g󰎘󰖡󰔄a=g󰎘󰖡󰔄a∗󰖡m=f󰎘󰖡m が成り立つが、 最初に f󰖡m=f󰎘󰖡m であると仮定しているので、 これより g󰖡󰔄a=g󰎘󰖡󰔄a を得る。 したがって、 余等化子の普遍性を使えば、 射 s:S→C が存在して、 B󰔄ASCgg󰎘p󰔄as が可換になることが分かる。 ここで、 g と g󰎘 はともに 󰒘 の射でもあり、 󰒘 は κ-小極限をとる操作について閉じていたので、 S は 󰒘 の対象になる。 したがって、 s は 󰒘/C の対象でもあり、 p は 󰒘/C の射 p:󰔄a→s とも見なせる。 すると、 (a∗)a∈󰒘/C が余錐であることから、 󰔄a∗=p󰖡s∗ が成り立つことが分かる。 これを利用すると、 f=g󰖡󰔄a∗=g󰖡p󰖡s∗ f󰎘=g󰎘󰖡󰔄a∗=g󰎘󰖡p󰖡s∗ が分かり、 さらに g󰖡p=g󰎘󰖡p であるから、 f=f󰎘 が示された。 以上により、 m は単射である。