定義から容易に分かる。

S が篩であることは J の安定性からすぐに分かる。

S が閉篩であることを示す。 任意に射 f:D→C をとり、 f∗S∈JD であるとする。 さらに任意の射 h∈f∗S:E→D をとると、 f∘h∈S であるから、 h∗(f∗S)∈JE が成り立つ。 よって、 J の推移性によって f∗S∈JD が得られ、 すなわち f∈S である。 これより、 S は閉篩である。

S の最小性を示す。 S を含む閉篩 T をとる。 任意の射 f∈S に対し、 定義から f∗S∈JD が成り立つが、 S⊆T より f∗S⊆f∗T であるから、 命題 1.6 によって f∗T∈JD も成り立つ。 今 T は閉だったので、 f∈T である。 以上によって S⊆T が示されたので、 S は S を含む最小の閉篩である。

S⊆S であるから h∗S⊆h∗S であるが、 命題 5.3 によって右辺は閉なので、 両辺の閉包をとれば h∗S⊆h∗S を得る。 逆に、 任意に f∈h∗S:E→D をとると、 h∘f∈S より f∗(h∗S)∈JE であるから、 すなわち f∈h∗S が成り立つ。 これより、 h∗S⊇h∗S も示された。

任意に被覆篩 W∈JC をとる。 -∘W:Hom(yC,Ω)→Hom(W,Ω)♤ が全単射であることを示せば良い。

写像 ♤ が単射であることを示す。 そのために、 自然変換 a,a󰎘:yC→Ω をとり、 a∘W=a󰎘∘W を満たすとする。 すなわち、 任意の f∈W:D→C に対して aDf=aD󰎘f が成り立つとする。 ここで、 Yoneda 同型によって a,a󰎘 と対応する元をそれぞれ S,S󰎘∈ΩC とすると、 この条件は f∗S=f∗S󰎘 と同値になる。

さて、 任意に f∈W∩S:D→C をとると、 今述べたことから、 f∗S󰎘=f∗S=⊤D∈JD が成り立つ。 S󰎘 は閉なので、 これより f∈S󰎘 が得られる。 したがって、 W∩S⊆W∩S󰎘 が成り立つ。 同じ議論を S と S󰎘 を逆にして行えば W∩S⊇W∩S󰎘 も得られるので、 結局 W∩S=W∩S󰎘 が成り立つ。

任意に f∈S:D→C をとる。 J の安定性によって f∗W∈JD であり、 f∗S=⊤D∈JD でもあるから、 上の議論の結果と合わせて、 f∗(W∩S󰎘)=f∗(W∩S)=f∗W∩f∗S∈JD が得られる。 さらに f∗(W∩S󰎘)⊆f∗S󰎘 なので、 f∗S󰎘∈JD も分かる。 S󰎘 は閉なので、 これより f∈S󰎘 が得られる。 したがって、 S⊆S󰎘 が成り立つ。 同様にして S⊇S󰎘 も得られるので、 結局 S=S󰎘 が成り立つ。 すなわち a=a󰎘 であり、 写像 ♤ の単射性が示された。

次に、 写像 ♤ が全射であることを示す。 そこで、 自然変換 a:W→Ω をとる。 すると、 各射 f∈W:D→C に対して、 元 aDf∈ΩD が定まっていることになる。 これを改めて Sf と書くことにする。

ここで、 U:={f∘g∣f∈W,g∈Sf}⊆yC と定める。 任意に f∈W および g∈f∗U をとる。 すると、 f∘g∈U であるから、 定義によってある f󰎘∈W:D󰎘→C と g󰎘∈Sf󰎘:E→D󰎘 が存在し、 f∘g=f󰎘∘g󰎘 が成り立つ。 このとき、 a の自然性を用いると、 g∗Sf=Sf∘g=Sf󰎘∘g󰎘=g󰎘∗Sf󰎘=⊤E が成り立つから、 g∈Sf である。 以上により、 f∗U⊆Sf が示された。 逆の包含関係である f∗U⊇Sf は明らかに成り立つので、 f∗U=Sf が成り立つ。

さて、 Sf は閉であることと命題 5.6 を用いると、 f∗U=f∗U=Sf=Sf が成り立つ。 U は閉だから U∈ΩC であり、 Yoneda 同型によってこれと対応する射を 󰔄a:yC→Ω とすると、 上の式によって 󰔄a∘W=a が成り立つ。 これより、 写像 ♤ の全射性も示された。

層 F をとり、 さらにその部分層 m:M↪F をとる。 ここで、 自然変換 χ:F→Ω が存在して、 図式 M1FΩm⊤χ が ShJ(󰒚) における引き戻しであるとする。 すなわち、 部分対象分類子が定める対応によって、 部分対象 M と対応する射 χ が存在したとする。 すると、 定理 4.1 によって、 層の極限は前層の極限として計算でき、 前層の極限は各点で計算できるため、 各対象 C に対し、 MC1FCΩCmC⊤CχC は Set における引き戻しである。 これは、 任意の元 a∈FC に対し、 a∈MC⟺χCa=⊤C が成り立つことと同値である。 ここで、 射 f:D→C をとると、 この同値性と χ の自然性によって、 (Ff)a∈MD ⟺ χD((Ff)a)=⊤D ⟺ f∗(χCa)=⊤D ⟺ f∈χCa が得られる。 逆に、 f=idC とおけば、 上の同値性からその前の同値性も得られる。 以上のことから、 部分対象分類子が定める対応で M と対応する χ は、 もし存在するとすれば、 χC: FC ⟶ ΩC a ⟼ {f∣(Ff)a∈M(codf)} という形でなければならない。 一方で、 この式は実際に自然変換 χ:F→Ω を定める。 すなわち、 定理は示された。