図式 Φ:󰒡→ShJ(󰒚) をとり、 これを前層の図式であると見なした極限を P とする。 すなわち、 P:=lim(i∘Φ) とおく。 P が層であることを示せば良い。

任意に被覆篩 S∈JC をとる。 各 j∈󰒡 に対して Φj は層だから、 命題 1.13 によって、 (Φj)C󰄖f∈S:D→C(Φj)D󰄖f∈S:D→Cg:E→D(Φj)E は等化子である。 なお、 ここに出てくる射は命題の通りである。 ここで、 等化子と任意の極限は交換するので、 この図式全体の極限をとれば、 PC󰄖f∈S:D→CPD󰄖f∈S:D→Cg:E→DPE も等化子である。 すなわち、 P は層である。

図式 Φ:󰒡→ShJ(󰒚) および層 G∈ShJ(󰒚) をとる。 定理 3.5 で示した随伴 a⊣i を用いると、 Hom(acolim(i∘Φ),G) ≅ Hom(colim(i∘Φ),iG) ≅ Hom(i∘Φ,ΔiG) ≅ Hom(Φ,ΔG) が成り立ち、 これは G に関して自然である。 なお、 ΔiG,ΔG はそれぞれ iG,G を値とする定値関手である。 この式の最左辺と最右辺を比べることで、 colimΦ=acolim(i∘Φ) が得られる。 すなわち、 ShJ(󰒚) の余極限を計算するには、 まず PSh(󰒚) の余極限として計算して、 その結果を層化すれば良い。 また、 a:ShJ(󰒚)→PSh(󰒚) が余極限を保存するのは、 右随伴をもつことから従う。

定理 4.1 によって ShJ(󰒚) の極限は PSh(󰒚) の極限として計算でき、 層化はプラス構成 2 回として定義されていたので、 プラス構成関手 -+:PSh(󰒚)→PSh(󰒚) が有限極限を保存することを示せば良い。

有限図式 Φ:󰒡→PSh(󰒚) および対象 C をとる。 JC∘ はフィルター圏であるから、 󰒡 上の極限と JC∘ 上の余極限は交換する。 このことから、 (limj(Φj)+)C ≅ limj(Φj)+C = limjcolimSHom(S,Φj) ≅ colimSlimjHom(S,Φj) ≅ colimSHom(S,limjΦj) = (limjΦj)+C が成り立つ。 すなわち、 limj(Φj)+≅(limjΦj)+ であるが、 これは -+ が Φ の極限を保存することを意味している。