まず、 A1∧⋯∧An⇀B が命題論理的恒真であるということは、 A1⇀(A2⇀(⋯(An⇀B)⋯)) が命題論理的恒真であるということである。 したがって、 ⊢󱁑A1⇀(A2⇀(⋯(An⇀B)⋯)) が成り立つ。 ここで、 ⊢󱁑A1 から ⊢󱁑An までを全て仮定すれば、 規則 MP を n 回適用することで、 ⊢󱁑B を導くことができる。

n に関する帰納法による。

n=0 のとき。 示すべきは、 ⊢󱁑⊤⇀B⟹⊢󱁑⊤⇀◻B である。 そこで、 ⊢󱁑⊤⇀B を仮定する。 ここで、 ⊤ は命題論理的恒真だから ⊢󱁑⊤ が成り立つので、 これと前の式に規則 MP を適用することで ⊢󱁑B が分かり、 さらにこれに規則 RN を適用すれば ⊢󱁑◻B が得られる。 ここで、 ◻B⇀(⊤⇀◻B) は命題論理的恒真だから、 命題 5.1 によって ⊢󱁑⊤⇀◻B が得られる。

n≥1 のとき。 帰納法の仮定と、 ⊢󱁑A1∧⋯∧An⇀B が成り立つことを仮定する。 すると、 命題 5.1 により、 ⊢󱁑A1∧⋯∧An−1⇀(An⇀B) が成り立つ。 これに帰納法の仮定を用いれば、 ⊢󱁑◻A1∧⋯∧◻An−1⇀◻(An⇀B) が得られる。 さて、 󱁑 が K を含むことから、 ⊢󱁑◻(An⇀B)⇀(◻An⇀◻B) が成り立つので、 今得られた 2 つの式に命題 5.1 を使うことで、 ⊢󱁑◻A1∧⋯∧◻An−1⇀(◻An⇀◻B) が分かる。 再び命題 5.1 を使えば、 ⊢󱁑◻A1∧⋯∧◻An⇀◻B が示された。

⊢󱁑A⥎B が成り立つと仮定する。 すると、 命題 5.1 により、 ⊢󱁑A⇀B と ⊢󱁑B⇀A がともに成り立つ。 このそれぞれに命題 5.2 を使うことで、 ⊢󱁑◻A⇀◻B と ⊢󱁑◻B⇀◻A が得られる。 この 2 つに命題 5.1 を使えば、 ⊢󱁑◻A⥎◻B が分かる。

まず、 ⊢󱁑A⇀B1∨⋯∨Bn を仮定する。 すると、 命題 5.1 により、 ⊢󱁑¬B1∧⋯∧¬Bn⇀¬A が分かる。 これに命題 5.2 を適用すると、 ⊢󱁑◻¬B1∧⋯∧◻¬Bn⇀◻¬A が得られる。 再び命題 5.1 を使えば、 ⊢󱁑¬◻¬A⇀¬◻¬B1∨⋯∨¬◻¬Bn が分かる。 さて、 󱁑 が Dual⬦ を含むことから ⊢󱁑⬦A⥎¬◻¬A 等が成り立つので、 これと上の式に命題 5.1 を適用することで、 ⊢󱁑⬦A⇀⬦B1∨⋯∨⬦Bn が示された。

命題 5.3 と同様に示せる。

命題 5.1 により、 ⊢󱁑◻(A1∧⋯∧An)⇀◻A1∧⋯∧◻An ⊢󱁑◻A1∧⋯∧◻An⇀◻(A1∧⋯∧An) がともに成り立つことを示せば良い。

まず 1 つ目を示す。 命題論理的恒真性により、 ⊢󱁑A1∧⋯∧An⇀A1 から ⊢󱁑A1∧⋯∧An⇀An までが全て成り立つ。 これに命題 5.2 を適用すれば、 ⊢󱁑◻(A1∧⋯∧An)⇀◻A1 から ⊢󱁑◻(A1∧⋯∧An)⇀◻An までが得られる。 これらと命題 5.1 により、 ⊢󱁑◻(A1∧⋯∧An)⇀◻A1∧⋯∧◻An が分かる。

次に 2 つ目を示す。 命題論理的恒真性により、 ⊢󱁑A1∧⋯∧An⇀A1∧⋯∧An が成り立つ。 これに命題 5.2 を適用すれば、 そのまま ⊢󱁑◻A1∧⋯∧◻An⇀◻(A1∧⋯∧An) が分かる。

命題 5.4 を使うことで、 命題 5.6 と同様に示せる。