任意にモデル 󰒤∈󱁀 とその世界 α∈󰒤 をとる。

ここで、 命題論理的原子式に対する真偽値の割り当て V を、 Vα󰒤(P):={ 1 (α⊨󰒤P) 0 (上記以外) で定める。 このように定めた Vα󰒤 は、 全ての (命題論理的原子式以外の) 式 X に対して、 Vα󰒤(X)=1⟺α⊨󰒤X♡ を満たす。 これは、 式に対しての真偽値の割り当てと様相論理における妥当性の定義を見比べることで、 X の構造に関する帰納法から簡単に示すことができる。

さて、 仮定から A は命題論理的恒真なので、 特に Vα󰒤(A)=1 である。 したがって、 主張 ♡ より α⊨󰒤A が成り立つ。 α と 󰒤 は任意だったので、 これで ⊨󱁀A が示された。

⊨󱁀A1 から ⊨󱁀An までが全て成り立つと仮定する。 任意にモデル 󰒤∈󱁀 とその世界 α∈󰒤 をとる。 まず、 A1∧⋯∧An⇀B は命題論理的恒真だから、 命題 2.3 により、 α⊨󰒤A1∧⋯∧An⇀B が成り立つ。 妥当性の定義から、 これは ⊨󱁀A1 から ⊨󱁀An までが全て成り立つならば ⊨󱁀B が成り立つことを意味する。 今 ⊨󱁀A1 から ⊨󱁀An までが全て成り立つことは仮定されているから、 これより ⊨󱁀B が得られる。 α と 󰒤 は任意だったので、 これで ⊨󱁀B が示された。

任意にモデル 󰒤∈󱁀 とその世界 α∈󰒤 をとる。 このとき、 α⊨󰒤◻(A⇀B)⇀(◻A⇀◻B)♡ を示せば良い。 妥当性の定義から、 そのためには α⊨󰒤◻(A⇀B) と α⊨󰒤◻A を仮定して α⊨󰒤◻B を示せば良い。

任意に β∈󰒤 であって α∼β を満たすものをとる。 すると、 仮定の α⊨󰒤◻(A⇀B) から特に β⊨󰒤A⇀B が成り立つことが分かる。 同様にして、 仮定の α⊨󰒤◻A からは β⊨󰒤A が得られる。 この 2 つからは β⊨󰒤B が導かれる。 今 β は任意だったので、 α⊨󰒤◻B が成り立つ。

最後に、 α と 󰒤 は任意だったので、 これで主張 ♡ は示された。

任意にモデル 󰒤∈󱁀 とその世界 α∈󰒤 をとる。 このとき、 α⊨󰒤⬦A と α⊨󰒤¬◻¬A が同値であることを示せば良いが、 これは妥当性の定義を見ればすぐに分かる。 実際、

• α⊨󰒤¬◻¬A が成り立つ。
• α⊨󰒤◻¬A が成り立たない。
• ある β∈󰒤 に対し、 α∼β が成り立ち、 かつ β⊨󰒤¬A は成り立ない。
• ある β∈󰒤 に対し、 α∼β が成り立ち、 かつ β⊨󰒤A が成り立つ。
• α⊨󰒤⬦A が成り立つ。

が順番に同値であることが分かる。

⊨󱁀A を仮定する。 任意にモデル 󰒤∈󱁀 とその世界 α∈󰒤 をとり、 α⊨󰒤◻A を示す。

任意に β∈󰒤 であって α∼β を満たすものをとる。 すると、 仮定の ⊨󱁀A から、 特に β⊨󰒤A が分かる。 β は任意だったので、 これで α⊨󰒤◻A が示された。

n に関する帰納法による。

n=0 のとき。 示すべきは、 ⊨󱁀⊤⇀B⟹⊨󱁀⊤⇀◻B である。 ここで、 妥当性の定義を見ることで、 任意の式 C に対して ⊨󱁀⊤⇀C と ⊨󱁀C は同値であることが分かる。 したがって、 ⊨󱁀B⟹⊨󱁀◻B を示せば良いことになるが、 これは命題 2.7 そのものである。

n≥1 のとき。 帰納法の仮定と、 ⊨󱁀A1∧⋯∧An⇀B が成り立つことを仮定する。 すると、 命題 2.4 により、 ⊨󱁀A1∧⋯∧An−1⇀(An⇀B) が成り立つ。 これに帰納法の仮定を用いれば、 ⊨󱁀◻A1∧⋯∧◻An−1⇀◻(An⇀B) が得られる。 さて、 命題 2.5 により、 ⊨󱁀◻(An⇀B)⇀(◻An⇀◻B) が成り立つので、 これと前の式を合わせれば、 ⊨󱁀◻A1∧⋯∧◻An−1⇀(◻An⇀◻B) が分かる。 再び命題 2.4 を使えば、 ⊨󱁀◻A1∧⋯∧◻An⇀◻B が示された。