各 i(1≤i≤n) に対し、 ⊢󱁑Ai⇀A1∨⋯∨An が成り立つ。 すると、 命題 5.2 により、 ⊢󱁑◻Ai⇀◻(A1∨⋯∨An) が分かる。 これが全ての i について成り立つから、 命題 5.1 により、 ⊢󱁑◻A1∨⋯∨◻An⇀◻(A1∨⋯∨An) が得られる。

まず命題 13.1 により、 ⊢󱁑◻¬A1∨⋯∨◻¬An⇀◻(¬A1∨⋯∨¬An) が成り立つ。 命題 6.2 を用いて ◻(¬A1∨⋯∨¬An) の部分を置き換えれば、 ⊢󱁑◻¬A1∨⋯∨◻¬An⇀◻¬(A1∧⋯∧An) が得られる。 すると、 ◻ と ⬦ の双対性から、 再び命題 6.2 によって、 ⊢󱁑¬⬦A1∨⋯∨¬⬦An⇀¬⬦(A1∧⋯∧An) が分かる。 最後に命題 5.1 により、 ⊢󱁑⬦(A1∧⋯∧An)⇀⬦A1∧⋯∧⬦An が得られる。

では、 ⊢󱁑A∧⬦B1∧⋯∧⬦Bn⇀⊥ を仮定する。 まず命題 5.1 により、 ⊢󱁑A⇀¬(⬦B1∧⋯∧⬦Bn) が分かり、 さらに、 ⊢󱁑A⇀¬⬦B1∨⋯∨¬⬦Bn も分かる。 ◻ と ⬦ の双対性から、 命題 6.2 を用いれば、 ⊢󱁑A⇀◻¬B1∨⋯∨◻¬Bn が得られる。 ところで、 命題 13.1 によって、 ⊢󱁑◻¬B1∨⋯∨◻¬Bn⇀◻(¬B1∨⋯∨¬Bn) が成り立つから、 今得られた 2 つの主張に命題 5.1 を使うことで、 ⊢󱁑A⇀◻(¬B1∨⋯∨¬Bn) が分かる。 最後に命題 6.2 を用いて、 ⊢󱁑A⇀◻¬(B1∧⋯∧Bn) が得られ、 補題の主張が示された。

1 つ目の同値性を示す。 まず ⬦pΔ⊆Γ が成り立つと仮定する。 任意に A∈Δ をとると、 ⬦pA∈⬦pΔ であるから、 仮定より ⬦pA∈Γ が得られる。 すなわち、 A∈⬦−pΓ が成り立つ。 A は任意だったから、 これで Δ⊆⬦−pΓ が示された。

逆に Δ⊆⬦−pΓ が成り立つと仮定する。 任意に A∈⬦pΔ をとると、 ある式 B∈Δ が存在して A≡⬦pB と書ける。 仮定から B∈⬦−pΓ が成り立つから、 ⬦pB∈Γ が分かり、 すなわち A∈Γ が得られる。 A は任意だったから、 これで ⬦pΔ⊆Γ が示された。

2 つ目の同値性は、 命題 11.9 と全く同様に示せる。

p に関する帰納法による。

p=0 のときは、 Γ=Δ と Γ⊆Δ の同値性を示せば良い。 Γ=Δ であれば、 当然 Γ⊆Δ が成り立つ。 逆に Γ⊆Δ であれば、 Γ の極大性から Γ=Δ でなければならない。 これで、 この場合に命題の主張は示された。

以降 p≥1 とする。 ∼p の定義により、 Γ∼pΔ であることは、 以下の条件と同値である。

• ある極大整合的集合 Θ が存在して、 Γ∼p−1Θ かつ Θ∼Δ が成り立つ。

帰納法の仮定と ∼ の定義により、 これはさらに以下とも同値である。

• ある極大整合的集合 Θ が存在して、 ◻−p+1Γ⊆Θ かつ ◻−1Θ⊆Δ が成り立つ。

以上の観察のもと、 命題の同値性を示す。

まず、 上記条件を仮定する。 すなわち、 ある極大整合的集合 Θ が存在して、 ◻−p+1Γ⊆Θ かつ ◻−1Θ⊆Δ が成り立つとする。 この仮定から ◻−pΓ⊆Δ を示したい。 そこで、 任意に A∈◻−pΓ をとると、 これは ◻pA∈Γ が成り立つということである。 ◻pA≡◻p−1(◻A) だから、 これより ◻A∈◻−p+1Γ が分かる。 今 ◻−p+1Γ⊆Θ であったから、 ◻A∈Θ すなわち A∈◻−1Θ が得られる。 さらに ◻−1Θ⊆Δ でもあったから、 A∈Δ が得られる。 A は任意だったから、 これで ◻−pΓ⊆Δ が示された。

逆に、 ◻−pΓ⊆Δ が成り立つと仮定する。 示すべきは、 すでに述べたように以下の条件である。

• ある極大整合的集合 Θ が存在して、 ◻−p+1Γ⊆Θ かつ ◻−1Θ⊆Δ が成り立つ。

しかし命題 13.4 により、 これは以下と同値である。

• ある極大整合的集合 Θ が存在して、 ◻−p+1Γ⊆Θ かつ ⬦Δ⊆Θ が成り立つ。

ここで、 ◻−p+1Γ⊆Θ かつ ⬦Δ⊆Θ であるとは ◻−p+1Γ∪⬦Δ⊆Θ であるということなので、 これは以下とも同値である。

• ある極大整合的集合 Θ が存在して、 ◻−p+1Γ∪⬦Δ⊆Θ が成り立つ。

ところで、 命題 10.9 により、 これを示すためには、 ◻−p+1Γ∪⬦Δ が整合的であることを示せば良い。 そこで、 以下で ◻−p+1Γ∪⬦Δ が整合的であることを示す。

矛盾を導くため、 ◻−p+1Γ∪⬦Δ が整合的でないと仮定する。 これは ◻−p+1Γ∪⬦Δ⊢󱁑⊥ であるということだから、 ある式 G1,⋯,Gn∈◻−p+1Γ と H1,⋯,Hm∈⬦Δ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn∧H1∧⋯∧Hm⇀⊥ が成り立つ。 ⬦Δ の定義により、 さらに H1󰎘,⋯,Hm󰎘∈Δ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn∧⬦H1󰎘∧⋯∧⬦Hm󰎘⇀⊥ が成り立つ。 ここで補題 13.3 を使えば、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀◻¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘) が得られ、 さらに命題 5.2 を p−1 回適用することで、 ⊢󱁑◻p−1G1∧⋯∧◻p−1Gn⇀◻p¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘) が分かる。 今 ◻p−1G1,⋯,◻p−1Gn∈Γ であるから、 これより、 Γ⊢󱁑◻p¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘) が得られたことになる。 したがって、 命題 11.5 により、 ◻p¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘)∈Γ が成り立つので、 ¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘)∈◻−pΓ も成り立つ。 ところで最初に ◻−pΓ⊆Δ を仮定していたので、 これからは、 ¬(H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘)∈Δ が分かる。 さて一方で、 H1󰎘,⋯,Hm󰎘∈Δ であったから、 命題 11.7 より、 H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘∈Δ も成り立つ。 これにより、 H1󰎘∧⋯∧Hm󰎘 自身とその否定が Δ に属することになってしまうが、 それは命題 11.7 に矛盾する。 したがって、 仮定は誤りで、 ◻−p+1Γ∪⬦Δ は整合的である。

正準モデルが (p,q,r,s)-近親的であることは、 関係の定義と命題 13.5 により、 以下が成り立つことである。

• 任意の極大整合的集合 Γ,Δ,Θ に対し、 ◻−pΓ⊆Θ かつ ◻−rΓ⊆Δ が成り立つならば、 ある極大整合的集合 Ξ が存在して、 ◻−qΘ⊆Ξ かつ ◻−sΔ⊆Ξ が成り立つ。

これを示したいが、 命題 10.9 により、 以下を示せば十分である。

• 任意の極大整合的集合 Γ,Δ,Θ に対し、 ◻−pΓ⊆Θ かつ ◻−rΓ⊆Δ が成り立つならば、 ◻−qΘ∪◻−sΔ は整合的である。

これを示そう。 極大整合的集合 Γ,Δ,Θ をとり、 ◻−pΓ⊆Θ かつ ◻−rΓ⊆Δ が成り立っているとする。 すると、 命題 13.4 によって ⬦pΘ⊆Γ も成り立つ。 ここで、 矛盾を導くため、 ◻−qΘ∪◻−sΔ が整合的でないと仮定する。 すなわち、 式 G1,⋯,Gn∈◻−qΘ と H1,⋯,Hm∈◻−sΔ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn∧H1∧⋯∧Hm⇀⊥ が成り立つとする。 これと命題 5.1 により、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀¬(H1∧⋯∧Hm) が得られ、 さらに命題 5.2 を q 回適用することで、 ⊢󱁑◻qG1∧⋯∧◻qGn⇀◻q¬(H1∧⋯∧Hm) が分かる。 ◻qG1,⋯,◻qGn∈Θ であるから、 これより、 Θ⊢󱁑◻q¬(H1∧⋯∧Hm) が得られたことになり、 命題 11.5 により、 ◻q¬(H1∧⋯∧Hm)∈Θ が成り立つ。 したがって、 ⬦p◻q¬(H1∧⋯∧Hm)∈⬦pΘ が成り立つが、 ⬦pΘ⊆Γ であったから、 ⬦p◻q¬(H1∧⋯∧Hm)∈Γ も成り立つ。 ここで、 󱁑 が Gpqrs を含むことから、 命題 11.6 によって、 ◻r⬦s¬(H1∧⋯∧Hm)∈Γ が得られ、 すなわち ⬦s¬(H1∧⋯∧Hm)∈◻−rΓ が分かる。 ◻−rΓ⊆Δ であったから、 ⬦s¬(H1∧⋯∧Hm)∈Δ も成り立つ。 ◻ と ⬦ の双対性から、 命題 11.7 も使うことで、 ¬◻s(H1∧⋯∧Hm)∈Δ が分かる。 さて一方で、 命題 5.2 により、 ⊢󱁑◻sH1∧⋯∧◻sHm⇀◻s(H1∧⋯∧Hm) が成り立つ。 ◻sH1,⋯,◻sHm∈Δ であるから、 これより、 Δ⊢󱁑◻s(H1∧⋯∧Hm) が得られたことになり、 命題 11.5 により、 ◻s(H1∧⋯∧Hm)∈Δ が成り立つ。 すると、 ◻s(H1∧⋯∧Hm) 自身とその否定が Δ に属することになってしまい、 命題 11.7 に矛盾する。 したがって、 仮定は誤りで、 ◻−qΘ∪◻−sΔ は整合的である。

命題 13.6 と定理 12.4 から従う。

全て定理 13.7 から従う。 適宜命題 3.7 を参照せよ。