α の三分性によって ⋸ は全順序である。 また、 基礎公理によって ∈ は整礎順序である。 したがって、 ⋸ は整列順序になる。

まず、 β の推移性を示す。 任意に元 ξ∈β をとる。 ξ⊆β を示せば良いので、 そのためにさらに元 η∈ξ をとる。 β∈α であったから α の推移性によって β⊆α であり、 さらに ξ∈β より ξ∈α を得る。 したがって、 再び α の推移性によって ξ⊆α であり、 さらに η∈ξ より η∈α を得る。 ここで、 β,η∈α であるから、 α の三分性を用いれば、 η=β か η∈β か η∋β かのいずれかが成り立つ。

仮に η=β であったとする。 このとき、 β=η∈ξ∈β が成り立つので、 集合 {β,η,ξ} は ∈ に関する極小元をもち得ないが、 これは基礎公理に矛盾する。 また、 η∋β であったとしても、 β∈η∈ξ∈β が成り立ち、 同様に矛盾する。 したがって、 η∈β しかあり得ない。

以上によって、 任意の元 η∈ξ に対して η∈β が分かったので、 ξ⊆β が示された。 これが示したかったことである。

次に、 β の三分性を示す。 任意に元 ξ,η∈β をとる。 α の推移性によって β⊆α であるから、 ξ,η∈α でもある。 したがって、 α の三分性を用いれば、 η=ξ か η∈ξ か η∋ξ かのいずれかが成り立つことが分かるが、 これがまさに示したかったことであった。

定理中の 2 つの主張は明らかに同値なので、 2 つ目の主張のみを示す。 まず、 左の条件から右の条件を導くため、 β⊂α を仮定する。 すると、 α∖β≠∅ であり、 定理 1.5 によって α は整列集合だから、 ξ∈min(α∖β) がとれる。 以降、 ξ=β であることを示す。

任意に元 η∈ξ をとる。 定義から ξ∈α であるから、 α の推移性によって ξ⊆α が成り立つので、 η∈α が分かる。 ここで、 仮に η∉β でもあったとすると、 η∈α∖β であるが、 η∈ξ であるから ξ の最小性に矛盾する。 したがって、 η∈β である。 以上により、 ξ⊆β が示された。

次に、 任意に元 η∈β をとる。 仮定から β⊂α であるから、 η∈α も成り立つ。 これによって ξ,η∈α であるから、 α の三分性を用いれば、 η=ξ か η∈ξ か η∋ξ のいずれかが成り立つことが分かる。 示したいのは η∈ξ が成り立つことであるから、 η=ξ と η∋ξ がどちらも起こり得ないことを示せば良い。 そこで仮に η=ξ であったとすると、 η∈β であるから ξ∈β が成り立つ。 また η∋ξ であったとすると、 η∈β であることと β の推移性を用いると η⊆β であるから、 ξ∈β が成り立つ。 いずれの場合でも ξ∈β が示されたが、 定義から ξ∈α∖β であるから、 これは矛盾である。 これにより、 η∈ξ が分かったので、 ξ⊇β が示された。

ここまでの議論から、 ξ=β が成り立つことが分かった。 ところで ξ∈α であったから、 β∈α が示された。

逆に、 定理の主張の右の条件から左の条件を導くため、 β∈α を仮定する。 すると、 α の推移性によって β⊆α が成り立つ。 ここで仮に β=α であったとすると、 α∈α となって基礎公理に反するので、 β≠α である。 以上により、 β⊂α が示された。

定義から明らかである。

γ:=α∩β とおくと、 定理 1.8 によってこれは順序数である。 以降、 γ=α または γ=β が成り立つことを背理法によって示す。 そこで、 γ≠α かつ γ≠β であると仮定する。 まず、 定義から γ⊆α であるから、 γ⊂α が成り立つ。 すると、 定理 1.7 によって γ∈α が得られる。 同様にして、 γ∈β も得られる。 したがって、 γ∈α∩β=γ が成り立つことになるが、 これは基礎公理に矛盾する。

以上により γ=α または γ=β であるが、 γ=α であれば β⊇α であり、 γ=β であれば β⊆α である。 したがって、 β⊇α または β⊆α であることが示され、 これが示したかったことである。

まず、 ⋃󰒝 の推移性を示す。 任意に元 β∈⋃󰒝 をとると、 ある順序数 α∈󰒝 が存在して β∈α が成り立つ。 α の推移性を用いれば β⊆α であるから、 β⊆α⊆⋃󰒝 が得られる。

次に、 ⋃󰒝 の三分性を示す。 任意に元 ξ,η∈⋃󰒝 をとると、 ある順序数 α,β∈󰒝 が存在して ξ∈α および η∈β が成り立つ。 定理 1.9 によって、 β=α もしくは β⊂α もしくは β⊃α のいずれかが成り立つから、 各場合について議論する。

β=α であれば ξ,η∈α であるから、 α の三分性によって η=ξ か η∈ξ か η∋ξ のいずれかが成り立つことが分かる。 β⊂α のときも ξ,η∈α であるから、 同様に α の三分性を用いれば良い。 β⊃α のときは ξ,η∈β であるから、 今度は β の三分性を用いれば良い。

任意に元 η∈α をとると、 定義から η∈O(ξ) は η∈ξ と同値である。 したがって、 O(ξ)=ξ が成り立つ。

Ciesielski†1 の定理 4.1.6 を参照。

α=β であれば α≅β であることは明らかなので、 α≅β を仮定して α=β を示す。 α≅β であるから、 順序同型写像 f:α→β が存在する。 これに対し、 Z:={ξ∈α∣f(ξ)=ξ}⊆α とおく。 超限帰納法を用いて Z=α を示す。

任意に ξ∈α をとり、 O(ξ)⊆Z であるとする。 この仮定と補題 1.13 により、 f(ξ) = O(f(ξ)) = f[O(ξ)] = {f(η)∈β∣η⊂ξ} = {η∈α∣η⊂ξ} = O(ξ) = ξ と計算できる。 したがって、 ξ∈Z が成り立つ。

以上により Z=α が示されたので、 任意の元 ξ∈α に対して f(ξ)=ξ が成り立つ。 これは f が恒等写像であるということなので、 α=β である。

まず、 α∪{α} の推移性を示す。 任意に元 ξ∈α∪{α} をとると、 特に ξ∈α であるから、 α の推移性によって ξ⊆α が分かる。 これより、 ξ⊆α⊆α∪{α} を得る。

次に、 α∪{α} の三分性を示す。 任意に元 ξ,η∈α∪{α} をとると、 ξ については ξ∈α か ξ=α かの 2 通りの場合があり、 η についても同様の 2 通りの場合がある。 したがって合計で 4 通りの場合があるので、 それぞれの場合について議論する。

ξ∈α かつ η∈α の場合は、 α の三分性を使えば η=ξ か η∈ξ か η∋ξ のいずれかが成り立つことが分かる。 ξ=α かつ η∈α の場合は、 明らかに η∈ξ である。 ξ∈α かつ η=α の場合は、 η∋ξ である。 最後に ξ=α かつ η=α の場合は、 η=ξ である。

簡単に示せる。

Ciesielski†1 の補題 4.1.9 を参照。

一意性は定理 1.15 からすぐに従うので、 以下では存在を示す。 まず、 元 x∈X に対し、 󰔄O(x) := O(x)∪{x} = {y∈X∣y⪯x} と書くことにする。 これを用いて、 Z:={x∈X∣ある順序数 α について 󰔄O(x)≅α}⊆X とおく。 定義から、 各 x∈Z に対して、 順序数 α と順序同型写像 f:󰔄O(x)→α が存在する。 定理 1.15 によって α は一意に定まり、 さらに補題 1.18 によって f も一意に定まる。 したがって、 以降はこれらをそれぞれ αx と fx で表すことにする。

初めに、 任意の x,y∈Z に対し、 y⪯x⟹fy⊆fx が成り立つことを示す。 まず、 fx[󰔄O(y)]=󰔄O(fx(y))=O(fx(y))∪{fx(y)} が成り立つ。 fx(y)∈αy であって αy は順序数だから、 補題 1.13 によって O(fx(y))=fx(y) が成り立つ。 また、 定理 1.6 によって fx(y) は順序数だから、 さらに定理 1.16 によって fx(y)∪{fx(y)} も順序数である。 したがって、 これと等しい fx[󰔄O(y)] も順序数である。 ここで補題 1.17 を使えば、 制限 fx|󰔄O(y):󰔄O(y)→fx[󰔄O(y)] が順序同型写像であることが分かる。 ところで、 fy:󰔄O(y)→αy は 󰔄O(y) から何らかの順序数への一意な順序同型写像であったから、 fx|󰔄O(y)=fy でなければならない。 すなわち、 fy⊆fx である。

この観察のもと、 超限帰納法によって Z=X を示す。 任意に x∈X をとり、 O(x)⊆Z を仮定する。 今の観察により、 写像 󰆊y∈O(x)fy:󰆊y∈O(x)󰔄O(y)→󰆊y∈O(x)αy が定義できる。 この写像を f とおく。 各 fy が順序同型写像であることから、 この f が狭義単調増加な全射であることがすぐに従う。 また、 f の定義域 ⋃y󰔄O(y) は O(x) に等しい。 さらに、 定理 1.10 により、 f の値域 α:=⋃yαy は順序数である。 したがって、 補題 1.17 によって f は順序同型写像である。

上記の議論で得られた順序同型写像 f:O(x)→α の拡張として、 󰔃f: 󰔄O(x) ⟶ α∪{α} y ⟼ { f(y) (y∈O(x)) α (y=x) を考える。 󰔃f は f に 1 点の行き先を追加した拡張であり、 追加された 1 点とその像はそれぞれ定義域と値域の最大元であるから、 󰔃f も順序同型写像である。 定理 1.16 によって α∪{α} は順序数であるから、 これにより x∈Z が示された。

以上により Z=X であるから、 写像 󰆊y∈Xfy:󰆊y∈X󰔄O(y)→󰆊y∈Xαy が定義でき、 前と同様の議論によってこれは順序同型写像になる。 f の定義域 ⋃y󰔄O(y) は X に等しく、 f の値域 ⋃yαy は順序数であるから、 定理が示された。