󰒚 の対象 A に対し、 本来の定義における γA とこの命題における 󰔃γA の対応は、 全単射 Hom󰒭(1,FA⊸GA)≅Hom󰒭(1⊗FA,GA)≅Hom󰒭(FA,GA) で与えられる。 具体的には、 合成 FAFA⊗1FA⊗(FA⊸GA)GAρFA−1id⊗γAεFA,GA が 󰔃γA である。 ここで、 εFA,GA はテンソル積の随伴の余単位である。 あとは、 双方に対する自然性を表す可換図式が対応しているかどうかを確かめれば良い。

任意に 󰒚 の対象 A,B をとる。 テンソル積の随伴によって、 命題中の図式の可換性は、 FA⊗[A,B]FA⊗(FA⊸FB)FBGA⊗[A,B]GA⊗(GA⊸GB)GBid⊗FAB󰔃γA⊗idεFA,FB󰔃γBid⊗GABεGA,GB♤ の可換性と同値である。

この図式において、 左上から初めに右に行って下に行くという射の合成について、 FA⊗[A,B]FA⊗(FA⊸FB)FBFA⊗[A,B]⊗1FA⊗(FA⊸FB)⊗1FB⊗1FA⊗(FA⊸FB)⊗(FB⊸GB)FB⊗(FB⊸GB)GBid⊗Fid⊗ρ−1εid⊗ρ−1ρ−1id⊗F⊗idid⊗F⊗γε⊗idid⊗γid⊗γε⊗idε という可換図式がある。 また、 左上から初めに下に行って右に行くという射の合成については、 FA⊗[A,B]FA⊗1⊗[A,B]FA⊗(FA⊸GA)⊗[A,B]FA⊗(FA⊸GA)⊗(GA⊸GB)GA⊗[A,B]GA⊗(GA⊸GB)GBρ−1⊗idid⊗λ−1id⊗γ⊗idid⊗γ⊗Gε⊗idid⊗Gε⊗idid⊗Gε という可換図式がある。 したがって、 図式 ♤ の可換性は、 FA⊗[A,B]⊗1FA⊗(FA⊸FB)⊗(FB⊸GB)FA⊗[A,B]GB⊗FA⊗1⊗[A,B]FA⊗(FA⊸GA)⊗(GA⊸GB)id⊗F⊗γε∘(ε⊗id)id⊗ρ−1id⊗λ−1id⊗γ⊗Gε∘(ε⊗id) の可換性と同値である。 この図式の最も右になる 2 つの射は、 テンソル積の随伴で 󰒭 の合成を表す射に移るから、 この図式全体をテンソル積の随伴で移せば、 定義 2.2 の図式が得られる。 以上で、 命題が示された。